Was Staubsauger & Co angeht, würde ich schon ein paar Tage warten, je nachdem, wie verschüchtert sie dann tatsächlich wirkt. Also schon erst ein wenig ankommen lassen. Aber auch nicht wochenlang den normalen Alltag aussetzen.
Ansonsten kann "sehr schüchtern" alles Mögliche bedeuten, deshalb lassen sich daraus kaum konkrete Handlungsanleitungen ableiten. Sie kann einfach schüchtern und zurückhaltend sein, das wäre kein Drama, oder in Wirklichkeit sehr ängstlich, das wäre schon ein wenig anspruchsvoller.
Ich habe einmal eine sehr schüchterne, recht unsichere Hündin übernommen, die allerdings schon erwachsen war. Ich habe sie zuerst, also ganz am Anfang nach der Ankunft, im Haus an der Leine gelassen, auch weil ich nicht wusste, wie sie auf die Katzen reagieren wird. Das würde ich dir auch empfehlen, denn es ist im Zweifel weniger erschreckend für den Hund, wenn du sie an der Leine korrigierst, als wenn du versuchen musst sie einzufangen, wenn sie z.B. hinter der Katze her will.
In meinem Fall hat sich das sehr schnell als überflüssig erwiesen, und sie fand sich eigentlich ganz problemlos in unseren Alltag ein.
Dein Kater kennt Hunde?
Dass du die neue Hündin draußen erst mal nur angeleint führst, bis ausreichend Vertrauen da ist, setze ich als selbstverständlich voraus.