Es geht eigentlich nicht darum, was man lieber füttert, sondern was der Hund am besten verträgt. Das kann Barf, Trofu und genauso auch Dose, oder ne Mischung draus sein. Das muß der HH letztendlich selber bei seinem Hund herausfinden.
Normalerweise, wenn Du den Hund übernehmen solltest, füttert man vorerst immer das Futter, welches er vorher bekommen hat. Da wahrscheinlich in dem TH die Futtersorten wechseln, würde ich gleich mit einem neuen, ordentlichen Futter beginnen, da der Hund die Fütterung im TH nicht so gut verträgt. Ist wahrscheinlich ein getreidehaltiges Futter, darum auch der ständige "Gasalarm".
Ich würde Dir ein Timberwolf- Futter empfehlen, habe inzwischen mehrere getestet und bei meinem Hund für gut befunden.
Alternativ kannst Du Dich auch in Richtung "Barf" schlau machen. Dazu findest Du hier genügend Material im Forum, auch weiterführende Links.
Die Figur des Hundes wird auch wieder in den Normalbereich kommen, da, wie Du selbst schon schreibst, der Hund logischerweise nicht den Auslauf in einem TH haben kann, wie bei seinem Halter.
Ich denke, das reicht mal für den Anfang. Wenn Du den Hund hast, werden sich dann eh die spezifischeren Fragen ergeben, zB. auch die der Futterverträglichkeit und evtl. krankheitsbedingten Sachen, denen man mit dem Futter vielleicht etwas entgegen wirken kann.