Ich sehe es auch so, dass die Treppen mit zunehmender körperlicher Reife dem Hund irgendwann leichter fallen - da würde ich langsam steigern und an Treppen derzeit keinen Druck / oder Gewese machen, damit er sie nicht negativ verknüpft.
Zu Deiner geschilderten Szene mit der Schlepp im Maul: Eine Leine sollte NIEMALS Spielzeug sein, sonst ziehst Du Dir mit Pech einen Leine-Beißer heran, was langwierig zu korrigieren ist. So ein Verhalten solltest Du sofort unterbinden.
Thema "Fangen spielen": Achte darauf, dass Du vor dem Hund weg läufst und ihn dadurch zum Herankommen animierst, ist er bei Dir, kannst Du ein Spieltau o.ä. hervor zaubern. Dem Hund hinterherlaufen ist hingegen keine gute Idee - da lernt Hund nur, dass Du ihn niemals einholst und orientiert sich im Außen. Er muss lernen, zu Dir hin zu wollen, nicht von Dir weg.
Zum Spielen: Zum sinnvollen Lernspiel könnte man ganze Romane schreiben, vielleicht lässt Du es Dir von jemandem zeigen, der das kann? Baust Du es richtig auf, könnt ihr viel Spaß zusammen haben und gleichzeitig kann Dein Hund viel lernen. Daher nur so viel: Bei einem Hund in dem Alter würde ich viel körpernah spielen. Allerdings solltest Du zu wilde Zerrspiele vermeiden, solange der Hund nicht voll durchgezahnt ist.
Willst Du das Apportieren aufbauen, würde ich anfangs eine Leine dran lassen, das Spielzeug nur 2-3 m weg werfen und sobald der Hund es hat, mich zügig rückwärts von ihm weg bewegen und aufmunternd rufen. Sobald der Hund sich mit dem Spielzeug im Maul dann in Deine Richtung bewegt (da reichen anfangs einige Schritte während Du noch rückwärts gehst) bestätigen (loben und Leckerchen raus zaubern oder anderes noch tolleres Spielzeug raus holen und Action). Wenn er es in dem Stadium bei dem Lob sofort fallen lässt, macht das nichts. Du kannst langsam die "Tragezeit" ausbauen. Verhindere aber, dass der Hund das Spielzeug aufnimmt und damit stiften geht. Bei Dir ist die Party und das Bringen heißt nicht "Spielzeug wird weg genommen" sondern "die Party wird noch toller."
Ich finde von den Beschreibungen her Deinen Junghund übrigens überhaupt nicht anstrengend. Ich lese eher eine unerfahrene Hundeführerin, die eben (logischerweise und nicht schlimm) noch sehr viele Fehler macht und noch kein "Erziehungssystem" gefunden hat, das den Hund Schritt für Schritt in die gewünschte Richtung führt. Vieles baut aufeinander auf - macht man da Fehler, entstehen halt Probleme im Zusammenwirken. Das ist aber wie gesagt nicht schlimm, jede(r) von uns hat mal angefangen und ich finde es sogar sehr toll, wie viele Gedanken Du Dir machst. Wenn Du jetzt dran bleibst und vor allem an Dir arbeitest, werdet ihr bestimmt ein super-Team.
Das "an sich arbeiten" hört übrigens nie auf...ich habe eine gute Bekannte, die seit 20 Jahren für Behörden Diensthunde und deren HF ausbildet und im Hundesport mit ihren Hunden aktiv ist - sie hat unglaublich viel Erfahrung und lässt sich trotzdem "coachen", weil sich doch immer wieder Nachlässigkeiten und Fehler (des HF) einschleichen, die man alleine zu spät bemerkt.